Duško Marković rođen je 6. jula 1958. godine u Mojkovcu.
Osnovnu i srednju školu završio je u Mojkovcu, a diplomirao na Pravnom fakultetu u Kragujevcu, Republika Srbija.
U periodu od 1983. do 1986. godine bio je zaposlen u Pravnoj službi Rudnika “Brskovo” u Mojkovcu.
Od 1986. do 1989. godine obavljao je poslove sekretara Skupštine Opštine Mojkovac.
U mandatu od 1989. do 1991. godine bio je predsjednik Skupštine Opštine Mojkovac.
Godine 1991. izabran je za generalnog sekretara Vlade Republike Crne Gore, i na toj dužnosti nalazio se do 1998. godine. U tom periodu obavljao je i značajne partijske funkcije u Demokratskoj partiji socijalista. Bio je član Glavnog odbora, i član Izvršnog odbora Glavnog odbora DPS-a. U jednom periodu bio je vršilac dužnosti direktora Demokratske partije socijalista.
Paralelno sa funkcijom generalnog sekretara Vlade, bio je poslanik Demokratske partije socijalista u Skupštini Crne Gore tokom 1997/1998. Godine 1998. postavljen je na dužnost pomoćnika ministra unutrašnjih poslova za Službu državne bezbjednosti, koju funkciju je obavljao do 2005. godine.
Nakon što je 2005. godine, zbog potrebe reformisanja i unapređenja obavještajno-bezbjednosnog sektora, formirana Agencija za nacionalnu bezbjednost kao sui generis organ državne uprave, imenovan je za njenog prvog direktora. Na ovu dužnost biran je još jednom, a 2010. godine Skupština Crne Gore izabrala ga je za ministra bez portfelja u Vladi Crne Gore.
U novokonstituisanoj Vladi, krajem 2010. godine, izabran je za potpredsjednika za politički sistem, unutrašnju i vanjsku politiku, i ministra pravde.
Na redovnom Kongresu Demokratske partije socijalista 2011. godine, izabran je za člana Predsjedništva stranke.
Nakon parlamentarnih izbora 2012. godine, ponovo je biran za potpredsjednika Vlade za politički sistem, unutrašnju i vanjsku politiku i ministra pravde, a tokom 2013. godine bio je potpredsjednik Vlade za istu oblast, i ministar pravde i ljudskih prava. Tokom 2014. i 2015. godine vršio je i dužnost rukovodioca Ministarstva kulture.
Nakon izbora novih ministara u Vladi, u martu 2015. godine, nastavio je obavljati funkciju njenog potpredsjednika za politički sistem, unutrašnju i vanjsku politiku.
Za zamjenika predsjednika Demokratske partije socijalista izabran je 2015. godine.
Tokom 2016. godine, pored potpredsjedničke, obavljao je i dužnost rukovodioca Ministarstva unutrašnjih poslova. Predsjednik je Vijeća za nacionalnu bezbjednost.
Za predsjednika Vlade izabran je 28. novembra 2016. godine.
Oženjen je, otac troje djece.
